\chapter{1971年，威尔逊重整化群理论及其方程推导}

\date{2025.08.29}
	
	\begin{abstract}
		肯尼斯·G·威尔逊（Kenneth G. Wilson）于1971年建立的重整化群（Renormalization Group, RG）理论，为理解临界现象提供了强大而系统的微观框架。该理论将利奥·卡丹诺夫（Leo P. Kadanoff）的标度变换思想具体化为数学上可操作的变换群，通过连续消除短程自由度（即高动量的模式），系统地追踪哈密顿量在参数空间中的流动。威尔逊理论的核心是推导出描述哈密顿量演化的重整化群微分方程。本文旨在详细阐述威尔逊的实空间和动量空间重整化群思想，并重点推导其核心的微分方程，揭示其如何自然地解释标度律、普适性并计算临界指数。
		\vspace{1em}\\
		\textbf{关键词：} 重整化群；临界现象；标度变换；不动点；威尔逊
	\end{abstract}
	
	\section{引言：从卡丹诺夫图像到威尔逊理论}
	卡丹诺夫的标度变换图像虽然物理上非常深刻，但其块自旋变换 $\mathcal{T}$ 的具体形式以及有效哈密顿量 $H'$ 如何从 $H$ 衍生而来并不明确。威尔逊的巨大贡献在于将这一物理图像发展为一个完整的、可计算的理论——重整化群理论。
	
	该理论的核心思想是：\textbf{标度变换对应于参数空间中的一种“流”}。通过系统地积分掉波长小于某个截断 $b a$（实空间）或动量大于某个截断 $\Lambda/s$（动量空间）的自由度，得到一个关于剩余自由度的新的有效哈密顿量 $H'$。变换算子 $\mathcal{R}_b$ 被称为重整化群算子。连续施加这些变换，哈密顿量将在其参数空间中沿一条轨迹演化，这条轨迹由重整化群方程描述。
	
	\section{实空间重整化群与卡丹诺夫变换}
	
	考虑一个 $d$ 维晶格上的自旋系统，其配分函数为：
	\begin{equation}
		Z = \Tr_{\{s_i\}} e^{-\beta H[\{s_i\}]}
	\end{equation}
	卡丹诺夫-威尔逊的实空间重整化群变换包含两步：
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{粗粒化（Coarse-graining）}：将晶格划分为大小为 $(ba)^d$ 的块 $B_I$。
		\item \textbf{rescaling}：定义块自旋 $S_I$ 并通过部分迹操作积分掉块内的细节：
		\begin{equation}
			e^{-H'[\{S_I\}]} = \Tr_{\{s_i\}} P(\{S_I\}, \{s_i\}) e^{-H[\{s_i\}]}
			\label{eq:RG_trans}
		\end{equation}
		其中 $P(\{S_I\}, \{s_i\})$ 是投影算符，满足 $\sum_{S_I} P(\{S_I\}, \{s_i\}) = 1$，它规定了如何从微观自旋 $\{s_i\}$ 映射到块自旋 $\{S_I\}$（例如，$P \propto \delta(S_I - \frac{1}{b^d}\sum_{i \in B_I} s_i)$）。新的晶格常数变为 $a' = b a$。
	\end{enumerate}
	
	\begin{figure}[htbp]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
			% Original Lattice
			\draw[thin, black] (0,0) grid (4,4);
			\foreach \x in {0,...,4}
			\foreach \y in {0,...,4} {
				\draw[fill=red] (\x, \y) circle (2pt);
			}
			\node[below] at (2, -0.3) {晶格常数 $a$};
			
			% Block Division
			\draw[thick, blue, dashed] (0,0) rectangle (2,2);
			\draw[thick, blue, dashed] (2,0) rectangle (4,2);
			\draw[thick, blue, dashed] (0,2) rectangle (2,4);
			\draw[thick, blue, dashed] (2,2) rectangle (4,4);
			\node[below] at (2, -1.0) {(a) 粗粒化：划分块 $B_I$ ($b=2$)};
			
			% RG Flow Chart
			\node[draw, rectangle, minimum width=2cm, minimum height=1cm, fill=blue!10] (RG) at (6, 2) {$\mathcal{R}_b$};
			\node[draw, ellipse, minimum width=1.5cm, minimum height=1cm, fill=red!15] (H) at (3, 2) {$H[\{s_i\}]$};
			\node[draw, ellipse, minimum width=1.5cm, minimum height=1cm, fill=green!15] (Hp) at (9, 2) {$H'[\{S_I\}]$};
			\draw[->, very thick] (H) -- (RG);
			\draw[->, very thick] (RG) -- (Hp);
			\node[above] at (6, 2.5) {重整化群变换};
			
			% Rescaled Lattice
			\begin{scope}[shift={(0,-5)}]
				\draw[thin, black] (0,0) grid (2,2);
				\foreach \x in {0,1,2}
				\foreach \y in {0,1,2} {
					\draw[fill=green] (\x, \y) circle (3pt);
				}
				\node[below] at (1, -0.3) {晶格常数 $a' = b a$};
				\node[below] at (1, -0.8) {(b) 重标度：新有效哈密顿量};
			\end{scope}
		\end{tikzpicture}
		\caption{重整化群变换的实空间图像。(a) 原始晶格被粗粒化为块。(b) 通过变换 $\mathcal{R}_b$，微观哈密顿量 $H$ 被映射为描述块自旋的有效哈密顿量 $H'$，系统在新的长度标度下被描述。}
		\label{fig:real_space_rg}
	\end{figure}
	
	\section{重整化群流与不动点}
	连续应用变换 $\mathcal{R}_b$，产生一系列哈密顿量：
	\begin{equation}
		H_{n+1} = \mathcal{R}_b (H_n)
	\end{equation}
	这定义了一个在哈密顿量空间中的\textbf{重整化群流}。临界点对应于流的一个\textbf{不动点} $H^*$：
	\begin{equation}
		H^* = \mathcal{R}_b (H^*)
	\end{equation}
	在不动点附近，我们可以线性化变换 $\mathcal{R}_b$。设 $H = H^* + \sum_k g_k \mathcal{O}_k$，其中 $\mathcal{O}_k$ 是相关算符，$g_k$ 是对应的耦合常数。线性化变换为：
	\begin{equation}
		g_k' = \mathcal{R}_b(g_k) \approx b^{y_k} g_k
	\end{equation}
	$y_k$ 称为算符 $\mathcal{O}_k$ 的标度维度。根据 $y_k$ 的正负，耦合常数 $g_k$ 被分为：
	\begin{itemize}
		\item \textbf{相关（Relevant）}： $y_k > 0$，$g_k$ 在流向不动点时增大。
		\item \textbf{无关（Irrelevant）}： $y_k < 0$，$g_k$ 在流向不动点时减小。
		\item \textbf{边际（Marginal）}： $y_k = 0$，需要更高阶分析。
	\end{itemize}
	普适性由不动点周围少数几个相关算符决定，无关算符的细节不影响临界行为。
	
	\section{动量空间重整化群与微分方程}
	动量空间表述更便于进行解析计算。考虑 $\phi^4$ 理论，其哈密顿量（在连续场论中称为作用量）为：
	\begin{equation}
		H[\phi] = \int d^d x \left[ \frac{1}{2}(\nabla \phi)^2 + \frac{1}{2} r_0 \phi^2 + \frac{1}{4!} u_0 \phi^4 \right]
	\end{equation}
	其中 $r_0 \propto (T - T_c^{(0)})$，$u_0$ 是耦合常数。
	
	威尔逊-卡达诺夫的动量壳重整化群步骤如下：
	\begin{enumerate}
		\item 将场 $\phi(x)$ 在动量空间分解：$\phi(x) = \phi_{<}(x) + \phi_{>}(x)$，其中 $\phi_{<}$ 包含动量 $0 < |k| < \Lambda/s$（慢模），$\phi_{>}$ 包含动量 $\Lambda/s < |k| < \Lambda$（快模），$\Lambda$ 是紫外截断。
		\item \textbf{积分掉快模}：对快模自由度进行部分迹操作：
		\begin{equation}
			e^{-H'[\phi_{<}]} = \int \mathcal{D}\phi_{>}  e^{-H[\phi_{<} + \phi_{>}]}
			\label{eq:integrate_out}
		\end{equation}
		\item \textbf{重标度}：对空间和场进行重新标度以恢复原来的截断：
		\begin{align}
			x' &= x / b \\
			k' &= b k \\
			\phi_{<}(x) &= \zeta  \phi'(x')
		\end{align}
		通常选择 $\zeta = b^{1 + d/2}$（对应于高斯不动点）来保持动能项 $(\nabla \phi)^2$ 的形式不变。
	\end{enumerate}
	
	\begin{figure}[htbp]
		\centering
		\begin{tikzpicture}
			% Draw the momentum shell
			\filldraw[fill=blue!20, draw=blue, thick] (0,0) circle (2cm);
			\filldraw[fill=red!20, draw=red, thick] (0,0) circle (1cm);
			\draw[->, thick] (0,0) -- (2.5,0) node[right] {$k_x$};
			\draw[->, thick] (0,0) -- (0,2.5) node[above] {$k_y$};
			
			% Labels
			\node at (1.5, 1.5) {$\phi_>$};
			\node at (0.5, 0.5) {$\phi_<$};
			\draw (2,0) arc (0:30:2);
			\node[blue] at (2.2, 0.5) {$\Lambda$};
			\draw (1,0) arc (0:30:1);
			\node[red] at (1.2, 0.5) {$\Lambda/s$};
			
			% Arrow indicating integration
			\draw[->, very thick, green] (3, 0) -- (4.5, 0);
			\node[green] at (3.75, 0.3) {积分};
			
			% Draw the rescaled shell
			\begin{scope}[shift={(6,0)}]
				\filldraw[fill=red!20, draw=red, thick] (0,0) circle (2cm);
				\draw[->, thick] (0,0) -- (2.5,0) node[right] {$k'_x$};
				\draw[->, thick] (0,0) -- (0,2.5) node[above] {$k'_y$};
				\draw (2,0) arc (0:30:2);
				\node[red] at (2.2, 0.5) {$\Lambda$};
				\node at (1, 1) {$\phi'$};
			\end{scope}
		\end{tikzpicture}
		\caption{动量空间重整化群变换。积分掉动量壳 $\Lambda/s < |k| < \Lambda$ 中的快模 $\phi_>$，然后对慢模 $\phi_<$ 进行重标度 $k' = b k$ ($b=s$)，使得新的有效理论再次具有从 $0$ 到 $\Lambda$ 的动量范围。}
		\label{fig:momentum_shell}
	\end{figure}
	
	变换 $H \to H'$ 可以看作是耦合常数 $\vec{g} = (r, u, \dots)$ 的变换：$\vec{g}' = \mathcal{R}_b(\vec{g})$。对于无穷小的变换 $b = e^l \approx 1 + dl$，可以得到连续的重整化群流方程（即 $\beta$ 函数）：
	\begin{align}
		\frac{dr}{dl} &= \beta_r(r, u) = 2r + c_1 u + \dots \\
		\frac{du}{dl} &= \beta_u(r, u) = (4-d) u - c_2 u^2 + \dots
		\label{eq:beta_functions}
	\end{align}
	其中 $c_1, c_2$ 是正的常数。方程(\ref{eq:beta_functions})即为威尔逊重整化群微分方程。
	
	\section{不动点分析与临界指数}
	不动点 $(r^*, u^*)$ 由 $\beta_r(r^*, u^*) = 0$ 和 $\beta_u(r^*, u^*) = 0$ 决定。
	\begin{itemize}
		\item 高斯不动点： $(r^*, u^*) = (0, 0)$。
		\item 对于 $d < 4$，存在一个非平凡的非高斯不动点 $(r^*, u^* \sim \epsilon)$，其中 $\epsilon = 4-d$。
	\end{itemize}
	在不动点附近线性化 $\beta$ 函数：
	\begin{equation}
		\frac{d}{dl} \delta g_i = \sum_j M_{ij} \delta g_j, \quad \text{其中} \quad M_{ij} = \left. \frac{\partial \beta_{g_i}}{\partial g_j} \right|_{\vec{g}^*}
	\end{equation}
	矩阵 $M$ 的本征值 $\lambda_i$ 决定了标度维度 $y_i$（$\lambda_i = b^{y_i}$）。例如，在 $d=4-\epsilon$ 维下，可以计算得到：
	\begin{align}
		y_t &= \frac{1}{\nu} = 2 - \frac{\epsilon}{3} + O(\epsilon^2) \\
		y_h &= \frac{d+2}{2} - \frac{\epsilon}{6} + O(\epsilon^2)
	\end{align}
	由此可以通过 $y_t$ 和 $y_h$ 计算出所有临界指数（例如，$\alpha = 2 - d/y_t$, $\beta = (d - y_h)/y_t$），并与标度律相容。
	
	\section{结论}
	威尔逊的重整化群理论通过数学上严格的变换群概念，将卡丹诺夫的物理图像转化为一个强大的计算框架。其核心成果是推导出描述哈密顿量参数演化的微分方程（$\beta$ 函数）。该理论不仅解释了普适性和标度律的起源——它们源于无关变量流向不动点，还提供了系统计算临界指数的微扰方法（$\epsilon$ 展开）。重整化群思想早已超越临界现象领域，成为现代理论物理，包括粒子物理、凝聚态物理和非线性动力学的基石。
	
	\begin{thebibliography}{99}
		\bibitem{wilson1971} K. G. Wilson, \"Renormalization group and critical phenomena. I. Renormalization group and the Kadanoff scaling picture\", \textit{Physical Review B}, 1971, 4(9): 3174.
		\bibitem{wilson1971ii} K. G. Wilson, \"Renormalization Group and Critical Phenomena. II. Phase-Space Cell Analysis of Critical Behavior\", \textit{Physical Review B}, 1971, 4(9): 3184.
		\bibitem{wilson1974} K. G. Wilson and J. Kogut, \"The renormalization group and the $\epsilon$ expansion\", \textit{Physics Reports}, 1974, 12(2): 75-200.
		\bibitem{amit1984} D. J. Amit, \textit{Field Theory, the Renormalization Group, and Critical Phenomena}, World Scientific, 1984.
		\bibitem{hu1982} 于渌, 郝柏林, 《相变和临界现象》, 科学出版社, 1984.
	\end{thebibliography}
	